ќ√Ё (√»ј) 9-й класс.
√еометри€


«адача є557 из 860. Ќомер задачи на WWW.FIPI.RU - 0B70B9

¬ треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикул€рны и имеют одинаковую длину, равную 208. Ќайдите стороны треугольника ABC.


–ешение задачи:

¬ариант є1
–ассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикул€рен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90∞.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса).
ѕолучаетс€, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников).
—ледовательно, AB=BD.
“.е. треугольник ABD - равнобедренный.
BO - биссектриса этого треугольника, следовательно и медиана, и высота (по третьему свойству равнобедренного треугольника).
—ледовательно, AO=OD=AD/2=208/2=104.
ѕроведем отрезок ED и рассмотрим треугольник BEC.
ED - медиана этого треугольника, так как делит сторону BC пополам.
ѕлощади треугольников EDC и EDB равны (по второму свойству медианы). SEDC=SEDB=(BE*OD)/2=(208*104)/2=104*104=10816
SABE=(BE*AO)/2=(208*104)/2=10816
“.е. SABE=SEDC=SEDB=10816
“огда, SAB—=3*10816=32448
AD - медиана треугольника ABC (по условию), следовательно делит треугольник на два равных по площади треугольника ABD и ACD (по второму свойству медианы).
SABD=(AD*BO)/2=SABC/2
(208*BO)/2=32448/2
BO=32448/208=156
–ассмотрим треугольник ABO, он пр€моугольный, тогда применим теорему ѕифагора:
AB2=BO2+AO2
AB2=1562+1042
AB2=24336+10816=35152
AB=35152=16*2197=16*13*169=4*13*13=5213
BC=2AB=2*5213=10413
–ассмотрим треугольник AOE.
OE=BE-BO=208-156=52
“ак как этот треугольник тоже пр€моугольный, то можно применить теорему ѕифагора:
AE2=AO2+OE2
AE2=1042+522=10816+2704=13520
AE=13520=4*4*5*169=2*2*13*5=525
“ак как BE - биссектриса, то использу€ ее первое свойство запишем:
BC/AB=CE/AE
10413/5213=CE/(525)
2=CE/(525)
CE=1045
AC=AE+CE=525+1045=1565
ќтвет: AB=5213, BC=10413, AC=1565


¬ариант є2 (ѕредложил ¬севолод).
–ассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикул€рен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90∞.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса).
ѕолучаетс€, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников).
—ледовательно, AB=BD и AO=OD=AD/2=208/2=104.
ѕроведЄм через точку C пр€мую, параллельную AD. ѕродлим BA и BE до пересечени€ с этой пр€мой в точках F и G соответственно.
AF=AB (по теореме ‘алеса. AD и FC параллельны и разбивают BC на два отрезка 1:1, т.е. на равные отрезки, следовательно и BF они разобьют на равные отрезки).
“огда получаетс€, что:
AF=AB=BD=CD
“.е. получаетс€ равнобедренный треугольник BCF со средней линией AD и медианами BG и CA, которые в точке пересечени€ E дел€тс€ в отношении 2:1 счита€ от вершин (по свойству медианы).
BE=208 (по условию задачи)
EG=BE/2=208/2=104
BG=BE+EG=208+104=312
BO=OG=BG/2=312/2=156
–ассмотрим треугольник ABO.
ќн пр€моугольный (по условию задачи), тогда по теореме ѕифагора:
AB2=BO2+AO2
AB2=1562+1042
AB2=24336+10816
AB2=35152
AB=35152=2704*13=2704*13=5213
BC=2AB=2*5213=10413
–ассмотрим треугольник BOE.
OE=OG-EG=156-104=52.
BOE тоже пр€моугольный, следовательно по теореме ѕифагора:
AE2=AO2+OE2
AE2=1042+522
AE2=10816+2704=13520
AE=13520=2704*5=525
EC=2AE=2*525=1045 (мы ранее вы€снили, что медианы дел€тс€ в отношении 2:1 начина€ от вершины)
AC=AE+EC=525+1045=1565
ќтвет: AB=5213, BC=10413, AC=1565


¬ы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложени€ на странице 'ѕро нас'

 омментарии:


(2015-03-16 01:30:56) ¬севолод: ѕредлагаю чуть другое решение после того, как установили, что AB=BD. ѕроведЄм через точку C пр€мую, параллельную AD. ѕродлим BA и BE до пересечени€ с этой пр€мой в точках F и G соответственно. ѕолучитс€ равнобедренный треугольник BCF со средней линией AD и медианами BG и CA, которые в точке пересечени€ E дел€тс€ в отношении 2:1 счита€ от вершин. –аз BE=208, то EG=BE/2=104, вс€ BG=312, BO=OG=BG/2=156, OE=OG-EG=52. ƒалее так же: теорема ѕифагора дл€ треугольников ABO и AEO с известными катетами. ѕро CE=2EA уже упоминали (E -точка пересечени€ медиан), но это же следует и из свойств биссектрисы BE. (—пасибо за такой полезный сайт).
(2015-04-15 18:04:50) јдминистратор: ¬севолод, € адаптировал и добавил ¬аше решение.
(2015-10-28 20:56:44) Ќаталь€: —пасибо, за ¬ашу работу, очень полезный сайт!!!!!
(2017-02-07 19:13:39) ƒанил: AC и —¬-перпендикул€рны пр€мой BD, точки A и C лежат по разные сторны пр€мой BD. докажите, что BC-паралельна AD, если AB=CD
(2017-02-07 19:39:58) јдминистратор: ƒанил, ћы не помогаем решить домашнее задание, цель сайта - подробно разобрать задачи, которые будут на экзаменах, чтобы учащиес€ научились их решать самосто€тельно. ≈сли найдете похожую задачу на сайте fipi.ru, пишите, об€зательно добавим.
X

9-й класс, ќ√Ё: ћатематика

11-й класс, ≈√Ё: ћатематика (базовый уровень)

X
X

¬ведите пор€дковый номер задачи дл€ раздела 'ќ√Ё (√»ј) 9-й класс.
√еометри€' (от 1 до 860)

X

¬ведите номер задачи с сайта fipi.ru (шестизначный номер из букв и цифр)

X
X

¬ведите ключевую фразу или слова дл€ поиска задачи в разделе ќ√Ё (√»ј) 9-й класс.
√еометри€


»скать во всех разделах
X

«адайте вопрос по этой задаче.

¬аше им€:

Copyright www.otvet-gotov.ru 2014-2017. Bсе права защищены.
Цейтинг@Mail.ru