Задача №543 из 832. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 05E365

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 20 и 25, а основание BC равно 5. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.


Решение задачи:

Проведем отрезок, параллельный основаниям, как показано на рисунке.
EF - средняя линия трапеции, так как соединяет середины боковых сторон трапеции (по теореме Фалеса).
∠ADE=∠DEF (так как это накрест-лежащие углы при параллельных прямых EF и AD и секущей ED).
Получается, что ∠DEF=∠EDF (так как DE - биссектриса).
Значит треугольник EFD - равнобедренный (по свойству равнобедренного треугольника).
Следовательно, EF=FD (по определению).
EF=FD=CD/2=25/2=12,5
EF=(BC+AD)/2=12,5
(5+AD)/2=12,5
5+AD=25
AD=20
Дальше площадь трапеции можно найти разными способами:
1) Вычислить высоту трапеции. И вычислить площадь через высоту
2) Вычислить площадь через стороны трапеции.
Первый вариант
Проведем высоты как показано на рисунке.
MN=BC=5 (т.к. BCNM - прямоугольник).
BM=CN=h
Обозначим AM как x, для удобства.
AD=AM+MN+ND
20=x+5+ND
ND=15-x
Для треугольника ABM запишем теорему Пифагора:
AB2=h2+x2
202=h2+x2
h2=400-x2
Для треугольника CDN запишем теорему Пифагора:
CD2=h2+ND2
252=h2+(15-x)2
625=h2+(15-x)2
Подставляем вместо h2 значение из первого уравнения:
625=400-x2+(15-x)2
625-400=-x2+152-2*15*x-x2
225=152-2*15*x
225=225-30x
30x=0
x=0, получается, что BM совпадает со стороной AB, т.е. AB является высотой трапеции.
Тогда площадь трапеции равна:
S=AB(AD+BC)/2=20(20+5)/2=10*25=250

Второй вариант
Площадь трапеции можно найти по формуле.




Ответ: 250


Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'

Комментарии:


(2015-03-12 12:35:06) Всеволод: Применение такой формулы площади трапеции как-то не очень вписывается в программу. Проведём CH||BA и рассмотрим треугольник CDH. У него CD=25, DH=(DA-BC)=15, CH=AB=20. Заметим(!), что 25^2=15^2+20^2, т.е. треугольник CDH прямоугольный с прямым углом в вершине С. Значит CH=AB=20 является высотой трапеции, откуда сразу площадь трапеции 20х12.5=250. Если не заметили, что треугольник CDH прямоугольный, то дважды ищем его площадь: по формуле Герона (она ближе к программе) и как половина произведения основания DH на высоту, откуда находим нужную нам высоту и потом площадь трапеции.
(2015-03-12 12:41:42) Всеволод: Были глюки ... Пожалуйста, удалите дубликат сообщения и исправьте "с прямым углом в вершине C" на "с прямым углом в вершине H". Извиняюсь.
(2015-03-15 22:34:37) Администратор: Всеволод, я воспользовался Вашим советом и добавил решение без сложной формулы. Немного не так как писали Вы, но идея так же. Спасибо за подсказку!
(2015-03-16 12:06:14) Всеволод: Спасибо за отклик! Теперь решение простое и точно в рамках программы, без волшебного "заметим" и без формулы Герона, наличие которой в программе тоже надо уточнять.
(2015-03-16 15:09:26) Администратор: Всеволод, спасибо Вам за участие!
(2015-05-25 14:33:55) : Всеволод вообщето мы в школе изучаем формулу герона... Верните решение с формулой герона
X
X
X

Введите порядковый номер задачи для раздела 'Геометрия' (от 1 до 832)

X

Введите номер задачи с сайта fipi.ru (шестизначный номер из букв и цифр)

X
X

Введите ключевую фразу или слова для поиска задачи в разделе Геометрия


Искать во всех разделах
X

Задайте вопрос по этой задаче.

Ваше имя:

Copyright www.otvet-gotov.ru 2014-2016. Bсе права защищены.
–ейтинг@Mail.ru